Potenciación y Radicación

Potenciación

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿy se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero.

Definición

Se llama potencia a una expresión de la forma ${\displaystyle a^{n}}$, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero

Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

FUENTE: WIKIPEDIA.


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Radicación

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número x tal que

${\displaystyle x^{n}=a}$

donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y x es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre.^1 2

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y la raíz de orden tres se llama raíz cúbica. Las raíces de ordenes superiores se nombran usando números ordinales, por ejemplo raíz cuarta o raíz séptima.

La radicación es la operación inversa a la potenciación.

Definición y notación

Para todo número natural n y real positivo a se define la raíz enésima de a como la única solución positiva de la ecuación

${\displaystyle x^{n}-a=0}$

de incógnita x y se denota como ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$. De esta manera se tiene la equivalencia:³

${\displaystyle x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}}$.

La raíz cuadrada (n=2), por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ en vez de ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}$. Para el caso n=1 el símbolo de raíz ${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ ni siquiera se escribe, puesto que ${\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}=a}$.

Dentro de los números reales positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.³ La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

Fundamentos matemáticos

Relación con la potenciación

La radicación de orden n y la potenciación del mismo orden se anulan entre sí. Tomando la definición general de raíz para reales positivos a y para naturales n se tiene que:

${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}$

La raíz de cierto orden n de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$. De acuerdo con las reglas de potenciación,

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}$

de manera que la radicación de orden n puede ser interpretado en realidad como otra forma de expresar una potenciación de exponente ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$

FUENTE: WIKIPEDIA.

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